Fractal
Fractal
es un objeto geométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se
repite a diferentes escalas. Muchas estructuras naturales son de
tipo fractal. La propiedad matemática clave de un objeto genuinamente fractal
es que su dimensión métrica fractal es un número no entero. Dio unidad a una
serie de ejemplos, algunos de los cuales se remontaban a un siglo atrás. A un
objeto geométrico fractal se le atribuyen las siguientes características:
Es
demasiado irregular para ser descrito en términos geométricos tradicionales.
Es autosimilar,
su forma es hecha de copias más pequeñas de la misma figura.
Las copias son similares al todo: misma forma pero diferente
tamaño. Ejemplos de autosimilaridad:
Fractales naturales, son objetos naturales que se pueden
representar con muy buena aproximación mediante fractales matemáticos con
autosimilaridad estadísticas.
Conjunto
de Mandelbrot es un fractal autosimilar, generado por el conjunto de
puntos estables de órbita acotada bajo cierta transformación iterativa no
lineal.
La
definición de fractal en los años 1970, dio unidad a una serie de ejemplos, algunos de los
cuales se remontaban a un siglo atrás. A un objeto geométrico fractal se le
atribuyen las siguientes características:2
·
Es demasiado irregular para ser descrito
en términos geométricos tradicionales.
·
Es autoasimilar,
su forma es hecha de copias más pequeñas de la misma figura.
Las
copias son similares al todo: misma forma pero diferente tamaño. Ejemplos de
autosimilaridad:
·
Fractales naturales, son objetos naturales que se pueden representar con
muy buena aproximación mediante fractales matemáticos con autosimilaridad
estadística. Los fractales encontrados en la naturaleza se diferencian de los
fractales matemáticos porque los naturales son aproximados o estadísticos y su
autosimilaridad se extiende sólo a un rango de escalas (por ejemplo a escala
cercana a la atómica su estructura difiere de la estructura macroscópica).
·
Conjunto de Mandelbrot, es un fractal autosimilar, generado por el conjunto
de puntos estables de órbita acotada bajo cierta transformación iterativa no
lineal.
·
Paisajes fractales, este tipo de fractales generados computacionalmente
pueden producir paisajes realistas convincentes.
·
Fractales de pinturas.-Se utilizan para realizar el proceso de decalcomania.
·
Su dimensión
de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica.
·
Se define mediante un simple algoritmo recursivo.
No
basta con una sola de estas características para definir un fractal. Por
ejemplo, la recta real no se considera un fractal, pues a pesar de ser un
objeto autosimilar carece del resto de características exigidas.
Un fractal
natural es un elemento de la naturaleza que puede ser descrito
mediante la geometría fractal. Las nubes, las montañas, el sistema circulatorio,
las líneas costeras o los
copos de nieve son fractales naturales. Esta representación es aproximada, pues
las propiedades atribuidas a los objetos fractales ideales, como el detalle
infinito, tienen límites en el mundo natural.
Autosimilitud
Según B. Mandelbrot, un objeto es autosimilar o autosemejante si
sus partes tienen la misma forma o estructura que el todo, aunque pueden
presentarse a diferente escala y pueden estar ligeramente deformadas.
Los fractales pueden presentar tres tipos
de autosimilitud:
·
Autosimilitud exacta. este es el tipo
más restrictivo de autosimilitud: exige que el fractal parezca idéntico a
diferentes escalas. A menudo la encontramos en fractales definidos por sistemas de funciones iteradas (IFS).
Cuasiautosimilitud en el conjunto de Mandelbrot: al variar la escala
obtenemos copias del conjunto con pequeñas diferencias.
·
Cuasiautosimilitud: exige que el fractal parezca
aproximadamente idéntico a diferentes escalas. Los fractales de este tipo
contienen copias menores y distorsionadas de sí mismos. Matemáticamente
D.Sullivan definió el concepto de conjunto cuasiauto-similar a partir del concepto
de cuasi-isometría. Los fractales definidos por relaciones de recurrencia son
normalmente de este tipo.
·
Autosimilitud estadística. Es el tipo más débil
de autosimilitud: se exige que el fractal tenga medidas numéricas o
estadísticas que se preserven con el cambio de escala. Los fractales aleatorios
son ejemplos de fractales de este tipo.
Dimensión fractal y dimensión de Hausdorff-Besicovitch
Entre los fractales podemos encontrar
ejemplos como curvas que llenan todo el plano. En ese caso, la dimensión
topológica de la curva, que es uno, no nos informa sobre la forma en que esta
ocupa el espacio ambiente. De modo general, podríamos preguntarnos cómo
densamente un conjunto ocupa el espacio métrico que lo contiene. Los números
que nos informan objetivamente de este tipo de cuestiones son:
·
La dimensión fractal. Las fórmulas que la definen tienen que
ver con el recuento de las bolas necesarias para recubrir el conjunto o con el
de cajas de una cuadrícula que contienen parte del conjunto, cuando las
dimensiones de unas y otras tienden a cero. Podemos medir la dimensión fractal
de objetos reales: líneas de la costa (1.2), nubes, árboles, etc, Con estas medidas
podemos comparar objetos del mundo real con fractales generados por algoritmos
matemáticos.
·
La dimensión de Hausdorff-Besicovitch. Tiene una definición
más compleja que la de dimensión fractal. Su definición no suele usarse para
comparar conjuntos del mundo real.
Sistemas dinámicos:
Un atractor extraño: el Atractor de
Lorenz.
Pero además las formas fractales
no sólo se presentan en las formas espaciales de los objetos sino que se
observan en la propia dinámica evolutiva de los sistemas complejos (ver teoría del caos). Dinámica que consta de
ciclos (en los que partiendo de una realidad establecida simple acaban en la
creación de una nueva realidad más compleja) que a su vez forman parte de
ciclos más complejos los cuales forman parte del desarrollo de la dinámica de
otro gran ciclo. Las evoluciones dinámicas de todos estos ciclos presentan las
similitudes propias de los sistemas caóticos.
Los conjuntos de Julia
En negro, imagen del Conjunto de Mandelbrot superpuesto con losconjuntos de
Julia rellenos representados por algunos de sus puntos (en rojo
los conjuntos de Julia conexos y en azul los no conexos).
Estos conjuntos, fruto de los trabajos de Pierre Fatou y Gaston Julia en
los años 1920,
surgen como resultado de la aplicación reiterada de funciones holomorfas.
tos se representan mediante un
algoritmo de tiempo de escape, en que cada pixel se colorea según el número de
iteraciones necesarias para escapar. Suele usarse un color especial, a menudo
el negro, para representar los puntos que no han escapado tras un número grande
y prefijado de iteraciones.
Familias de fractales: el conjunto de Mandelbrot
La familia de conjuntos de Julia 
, asociadas a la
reiteración de funciones de la forma 
presenta
conjuntos de una variedad sorprendente.
El método de Mandelbrot: diferentes fractales iterando potencias de Z
A continuación se muestra una
serie de fractales de las diferentes potencias de Z-Zm + C, según el
método de Mandelbrot. Todos los puntos del plano complejo C=(Cx,iCy) son
iterados por adición a la función correspondiente. Todas las iteraciones parten
de los puntos x=0 iy=0. Cuando la iteración converge se colorea de amarillo
pálido. La divergencia a infinito es coloreada mediante un patrón cromático
desde el negro al azul. El fractal derivado de la función 
se denomina conjunto de Mandelbrot.
